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Themenvorschläge Maturaarbeit Mathematik


Grundsätzlich muss eine Maturaarbeit bzw. ein Thema für eine Maturaarbeit im Fach Mathematik ein wichtiges Kriterium erfüllen: Eine Eigenleistung muss klar erkennbar sein. Meist wird diese in einem praktischen Teil erbracht. Möglich sind z.B.:
  • Erstellung und Auswertung einer Statistik
  • ein Computerprogramm schreiben
  • Erläuterung einer Theorie, einer Definition oder eines Beweises mit Hilfe von Beispielen oder Erklärungen
  • selbst Übungsaufgaben erfinden
  • Lösen von Übungsaufgaben

konkrete Themenvorschläge:

  1. Das Parallelenaxiom
    Gibt es ein geometrisches System, in dem es durch einen Punkt zwei oder sogar unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden gibt? Kann das Parallelenaxiom Zu einer gegebenen Gerade g und einem Punkt P gibt es höchstens eine Gerade g' auf der P liegt, sodass g und g' keinen gemeinsamen Punkt haben. Diese Gerade g' nennt man parallel zu g durch P aus den anderen Axiomen der Euklidischen Geometrie hergeleitet werden? Programm: Axiome der Euklidischen Geometrie (eines der 15 Axiome ist z.B.: Durch je zwei Punkte geht eine Gerade); Definieren des Poincaré-Modells der hyperbolischen Ebene; Nachprüfen der Axiome im neuen Poincaré-Modell; Beweis bzw. Widerlegen, dass das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen folgt. Vorkenntnisse über komplexe Zahlen wäre schön.

  2. Befreundete, vollkommene und andere Zahlen
    In der Zahlentheorie gibt es eine Vielzahl von unbewiesenen Vermutungen, die nicht einmal mit den heutigen Supercomputern gelöst wurden. Wie gross ist die grösste bekannte Primzahl? Gibt es ein Programm, das uns Primzahlen erzeugt? Gibt es zum Beispiel unendlich viele Primzahlzwillinge? (Dies sind Primzahlenpaare mit der Differenz 2.) Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen? (Solche Zahlen sind die Summe ihrer Teiler.) Wieviele Primzahlen gibt es überhaupt? Programm: Definieren Sie die Begriffe wie vollkommene Zahl usw. Finden Sie Beispiele. Bei bewiesenen Sätzen sollen Sie zum Teil die Beweise erklären. Schildern Sie historische Hintergründe und den momentanen Stand der Forschung. Vorkenntnisse: Im Prinzip keine ausser Freude an Zahlenspielereien.

  3. Themen aus der Kombinatorik
    1. Die zwölf Wege: Wieviele injektive, surjektive und bijektive Abbildung gibt es zwischen zwei Mengen mit unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Elementen? Anwendungen: Auf wieviele Arten kann ich 15 Münzen auf 4 Personen verteilen? Auf wieviele Arten kann ich 15 Bohnen in 4 Häufchen aufteilen? Auf wieviele Arten kann ich aus 15 Personen 4 Gruppen bilden? Diese Fälle sind total verschieden.
    2. Ein- und Ausschaltformel: n Paare sollen sich so setzen, dass niemand neben seiner Dame zu sitzen kommt.
    3. Heiratssatz: Kennen von k Burschen jeder mindestens k verschiedene Mädchen, so kann jedem Burschen ein Mädchen zugeordnet werden, das er kennt.
    4. Bäume mit n Knoten: ein Beispiel für Codierung.
    Programm: Formulieren Sie die Probleme und Behauptungen. Finden Sie anschauliche Beispiele. Sie sollen (wo möglich) die Beweise verstehen und zusammenfassen. Keine Vorkenntnisse erforderlich.

  4. Kryptologie und Verschlüsselung
    z.B. im Internet und bei E-Mails. Wann und wo werden Verschlüsselungen gebraucht? Wie funktionieren diese für den Anwender? Was ist die Mathematik hinter diesen Methoden? Keine Vorkenntnisse erforderlich.

  5. Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt
    Die Zahlenfolge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 usw. kennt fast jede(r). Doch was steckt noch dahinter? Finden Sie Bezüge zur Ästhetik, insbesondere zum goldenen Schnitt. Finden Sie Beispiele aus der (Kunst-)geschichte. Keine Vorkenntnisse erforderlich.

  6. Computertomographie
    Wie funktioniert Computertomographie? Beleuchten Sie den mathematischen Aspekt, insbesondere das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Beschreiben Sie, wie der Computer solche (riesige) Gleichungssysteme löst. Erfinden Sie Beispiele. Vorkenntnisse: Lösen von linearen Gleichungssystemen, etwas Programmieren.

  7. Kugelgeometrie
    Wie soll ein Flugzeug auf schnellstem Weg von Kloten nach New York fliegen? Welche Fehler machen wir, wenn wir grosse Distanzen auf der Erde mit Hilfe von ebener Geometrie statt Kugelgeometrie lösen? Wieso gibt es Zweiecke auf der Kugel? Wieso haben Dreiecke auf der Kugel eine Winkelsumme grösser als 180°? Trigonometrie auf der Kugel. Vorkenntnisse: ebene Trigonometrie, insbesondere Sinus- und Cosinussatz.

  8. n-dimensionale Vektoren
    Was machen 5-dimensionale Vektoren für einen Sinn? Was ist eine 6-dimensionale Kugel? Wie misst man Längen im 7-dimensionalen Raum? Ist eine dreidimensionale Fläche im 4-dimensionalen Raum das gleiche wie eine zweidimensionale Fläche im 3-dimensionalen Raum? Finden Sie Längen- und Volumenmessmethoden in n-dimensionalen Rämen. Vorkenntnisse: Längen- und Winkelmessung bei Vektoren genügt. Differential- oder Integralrechnung erweitern die Anwendungsmöglichkeiten.

  9. künstliche Intelligenz
    Was ist das? Berichten Sie über Alan Turing. Programmieren Sie eine Turing-Maschine, die menschliche Intelligenz vorspiegelt. Oder analysieren Sie Science-Fiction-Filme oder -Literetur auf Wissenschaftlichkeit. Oder bauen Sie eine mechanische Rechenmaschine. Vorkenntnisse: Programmieren wäre hilfreich.

  10. Chaostheorie
    Viele Pseudowissenschaftliche Fernsehsendungen oder Bücher berichten darüber. Was steckt wirklich dahinter? Zeichnen Sie Fraktale (Programmieren und komplexe Zahlen erforderlich) oder berichten Sie über chaotisches Verhalten im Strassenverkehr, bei Wetterprognosen und einfachen physikalischen Modellen (Pendel usw.) (Differentialrechnung erforderlich).

  11. Abstimmungen und Wahlen
    Vergleichen Sie verschiedene Wahl- und Abstimmungsmethoden in verschiedenen Staaten. Wie werden Hochrechnungen und Vorhersagen ermittelt? Wie muss man Wahlverfahren anpassen, wenn über mehr als zwei Alternativen abgestimmt wird? Keine Vorkenntnisse nötig.

  12. Gruppentheorie
    Gibt es eine Zahlmenge, bei der ausser die Eins auch nach andere Zahlen ihr eigenes Quadrat sind? Wieso sind die Eins und die Null spezielle Zahlen? Was passiert, wenn die Mathematiker Zahlen und Zahlensysteme in Klassen einzuteilen versuchen? Vorkenntnisse: Freude an abstrakter Mathematik.

  13. 2-Personen-Spiele am Computer
    Wie denkt ein Computer, wenn er gegen Sie Vier gewinnt spielt? Erklären Sie Spielbäme, Bewertungssysteme und Feldbewertungen. Finden Sie selbst Beispielsituationen in 2-Personen-Spielen wie Schach, Tic-Tac-Toe, NIM usw. Programmieren Sie eventuell eine einfaches Compueterprogramm. Vorkenntnisse: keine (eventuell Programmieren).

  14. Casino vs. Lotto
    Untersuchen Sie gängige Glücksspiele auf die Gewinnchancen. Erfinden Sie selbst ein nach Ihren Kriterien optimales Glücksspiel. Untersuchen Sie Systeme, bei denen man todsicher gewinnt. Keine Vorkenntnisse nötig.

  15. statistische Tests
    Falls ein Dopingtest einmal versagt hat, sind dann tausende unschuldige Sportler fälschlicherweise gesperrt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man diese Tests als sicher bezeichnen?
    Stellen Sie verschiedene stat. Tests vor und führen Sie selbst ein praktisches Beispiel durch.

  16. Räuber-Beute-Modelle und vernetzte Systeme
    stellen Sie diese an einem selbst ausgesuchten Beispiel vor. Führen Sie eine Computersimulation durch und bestimmen Sie die Parameter in den Zusammenhängen vom Fressen und Gefressen-werden.

Natürlich kann man die Themen auch abwandeln oder ein eigenes Thema wählen. Auf jeden Fall ist eine Absprache mit mir nötig.

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